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【小波の京女日記】


2012年06月03日 内部被曝の話:放射性セシウムはどんなふうに体内に留まるのか [長年日記]

_ ここまでのまとめ

5月19日の記事では,放射性物質の生物学的半減期について説明した。体内に入った物質は絶えず体に入って出ていくモノ,だいたいそれは水と思っていればよいのだけれど,それによって薄められて出ていく。その変化はちょうど放射性物質が崩壊して出ていくのと同じモデルで記述できる。数学的に言えば \[ \frac{dx}{dt} = -\lambda x \] という微分方程式で表せる。ここで $\lambda$ は全体のうちどれだけの割合で $x$ が減少するかということを示すパラメータだ。生物学的半減期を考える時には,$\lambda$ は $f/V$という値で置き換えられる。ここで $f$は単位時間に流れ込む「真水」の量で,$V$は容器の体積である。

画像の説明

このモデルは上の微分方程式を解析的に解くことでも解が得られるし,また簡単なプログラムでも,そのようすを再現できた。

つまり上の微分方程式を数学的にまじめに解くと, \[ x = x_0 {\mathrm e}^{-\lambda t} \] という時間変化の関数が得られて,そこからさらに半減期 $\tau_h$ として \[ \tau_h = \frac{\log 2}{\lambda}\] という関係が出てくるということを確かめることができたことは覚えているだろう。

また,簡単なシミュレーションのプログラムによって,図のような減衰曲線を得ることができ,半減期を実際にデータから読み取ることもできた。


_ 出入りを考えたモデル

体内に持ち込まれる放射性物質の項の効果


前のシミュレーションでは,放射性セシウムのような汚染物質が体内に1回取りこまれたら,その後どういうふうに変化するかを追った。しかし現実に問題になるのは,最初は汚染ゼロで,そこから汚染した食物を摂取し続けた時にそれがどのように体にたまるのかということである。状況としては下の図を見てもらえばよい。

画像の説明

こんなふうに最初は「真水」だったものに,上から汚染物質が一定の速度で入ってくる。一方ですでに扱ったように,薄まっていく過程も同時に進行している。さて,単位時間あたり入ってくる汚染の量を $m$ としよう。 これによる単位時間あたりの濃度の変化は,全体の容積を $V$としたとき $m/V$ となるはずだ。(200 L のタンクに毎日 10 g の塩が入ってきたら,一日あたりの濃度の増え方は $10 / 200 = 0.05 $ g/L となるよね。)

画像の説明

そのことを例によって微分方程式で表すと,次のようになる。

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{m}{V} \]

$m$ も $V$ も定数なので, 簡単のために $\alpha = m/V$ としてしまおうか。

\[ \frac{dx}{dt} = \alpha \]

あるいは差分形にして

\[ \Delta x = \alpha \Delta t\]

これが意味するところは,要するに一定のペースで増えていくような変化だということだ。解析的にも解は簡単だが,プログラムで解くことにこだわってやってみよう。前に登場したプログラムの断片を見てほしい。

#繰り返しはじめ
dx = lambda * x * dt
t += dt
x -= dx
#繰り返しおわり

ここで dx = lambda * x * dt ではなく,

dx = alpha * dt

とし,また x -= dx を

x += dx

としてループを回してやれば,増加の様子をシミュレートできる。 ただし,いうまでもなくその前に alpha に何か値を入れてやらないといけない。

実際に計算して得た結果を示そう。これは $x_0$ を 10.0, $\alpha$ を 2.0 として解いてみたものである。見ると,初期値から一定の傾きで単純に上昇している。これは当たり前の話で,出口がないのに容器に一定のペースでインクを落としていけば,単純に蓄積されていくという自明なことが起きることを示している。

体内に持ち込まれる分と出ていく分の両方を考える。

実際には,先に見たように体内に取り込まれた汚染物質は,生物がつねに食物や水を取り込んで老廃物を排出していくことによって「薄められて」いく。このときに生物学的半減期が現れることもすでに見た。

画像の説明

この状況を微分方程式で表すと次のように書けるだろう。

\[ \frac{dx}{dt} = \alpha - \lambda x\]

$\lambda x$ はすでに何度も出てきた減衰の定数で,ここでは $\lambda = m/V$ である。

このモデルをプログラムするとどうなるだろうか。例によって次のように書きなおしてからプログラムを書く。

\[ \Delta x = (\alpha - \lambda x) \Delta t \]

これから,プログラムの計算の最初の部分は次のように書ける。

dx = (alpha - lambda * x) * dt

これを使って計算を実行してみると,右のような図が得られる。

図から見て取れるのは,上の一直線の増加ではなく,徐々に増加のペースが鈍っているということで,結果的にかなり低い値(グラフの縦軸の数字にも注意!)でほぼ傾きが水平になる。

この変化は,要するに常に汚染物質が追加されるものの,同時に汚染物質の濃度に比例して排出されるために,あるところで濃度変化が頭打ちになることを 意味している。


_ どんなふうに定常状態になるのか

定常状態が成立する条件

さて以上の計算から,放射性物質を仮に毎日取り込み続けていたとしても,しばらくたつと体内の量は頭打ちになるというかなり安心できる事実が確かめられた。

画像の説明

しかし,それでも「どの程度の量で頭打ちになるのか?」という疑問を解決しておかないと,あまり手放しで安心するわけにはいかない。それについて考えておこう。

もう一度次の微分方程式を考える。

\[ \frac{dx}{dt} = \alpha - \lambda x \]

この式で $\frac{dx}{dt}$ がゼロになる,つまり傾きがゼロになる条件はとても簡単だ。すなわち,

\[ \alpha - \lambda x = 0\]

となる時だ。これは流入量 $\alpha$ と 流出量 $\lambda x$ がちょうど釣り合っているという条件が満たされていることを意味する。これを定常状態という(「平衡状態」と呼ぶ人もいる)。つまりこの状態では汚染物質の濃度は飽和してしまうわけだ。

この式から,定常状態が成り立つ時の汚染物質の濃度 $x$ は次のように表されることが分かる。 \[ x = \frac{\alpha}{\lambda}\]

右図に以上をまとめて示した。図に記載したパラメータから定常状態の濃度との関係を読み取れる。

乳幼児は大人よりも蓄積量が少ない

以上はとても重要な結果で,生物学的半減期 $ \log 2/\lambda $が短いほど低い濃度で定常状態に達することを意味している。一般に乳児や幼児は新陳代謝が激しいために生物学的半減期が短く,そのために体内では大人よりもずっと低い濃度で飽和に達する。これはとてもありがたい事実だ(セシウムの生物学的半減期は大人で 約100日,若くなるにつれて短くなって幼児で30日程度,生後数日の新生児では6〜7日という報告があり,これが現在使われているデータの元になっているようだ。 Radiol Health Data Rep. 1965 Dec;6(12):711-8."The half-time of cesium 137 in man." McCraw TF.)。

_ 物理的半減期と生物学的半減期の両方が関係するとき

生物学的半減期と物理学的半減期

5月9日の日記で,物理的半減期によって放射性物質の量が指数関数的に減衰することを解説した。体内に取り込まれた汚染物質がまったく同じ形で減衰することもすでに学んだ。

ところで,ここで述べている生物学的半減期をめぐる議論は,別に汚染物質が 放射性であるかどうかは関係ない。体内の物質が体外に排出されるときには「薄められ」ていって,だんだんに下がっていくというモデルなのだ。だから実は医療用の薬の場合でも同じことが言えて,たとえばあるときに取り込んだ抗生物質の濃度がどのように推移するかという話(これは薬の効き目を考える上でとても重要なはず)を考える時には,薬理学的半減期という用語が使われる。

そういう生物学的半減期の議論と独立して,原子核そのものが消滅していく物理的半減期も考慮することで,体の中の放射能汚染の全体を考えることができる。 そこで物理的と生物学的のふたつの半減期のが絡んでくる場合について,話を進めよう。

放射線の減衰の定数はこれまで$\lambda$ で表してきたが,減衰には2通りがあるので物理的な減衰定数を $\lambda_P$, 生物学的な減衰定数を $\lambda_B$としておこう。それぞれに対応する半減期は $\tau_B$, $\tau_B$とする。当然次のように書けることは分かるだろう。

\[ \tau_P = \frac{\log 2}{\lambda_P} \]

\[ \tau_B = \frac{\log 2}{\lambda_B} \]

さて,人体に見立てている容器の中の放射性物質が減る原因として,崩壊によるもの,および「薄め」によるものの効果がどういうふうに効くのかを考えてみよう。

たとえば 100 だけのものがあり,ある時間内に崩壊で 5 % が,「薄め」によって 3 % 減るとするならば,合わせて 8 % 減ることは明らかだ。つまり,2つの減衰の効果は足し算で効く。ということは次のように書ける。

\[ \frac{dx}{dt} = -\lambda_P x - \lambda_B x = -(\lambda_P + \lambda_B) x \]

これを何度も出てきた減衰の微分方程式

\[ \frac{dx}{dt} = \lambda x \]

と見比べれば,結局2つの減衰定数の和 $\lambda_P + \lambda_B$ がひとつの減衰定数であるかのように振舞うことになり,放射性物質はやはり指数関数的に減少することになる。

\[ x = x_0 {\mathrm e}^{-(\lambda_P + \lambda_B) t}\]

全体としての半減期を $\tau_T$としよう。この値はどうなるだろうか。当然上の式から

\[ \tau_T = \frac{\log 2}{\lambda_P + \lambda_B}\]

となるだろう。すると結局次の式が得られる。

\[ \frac1{\tau_T} = \frac{1}{\frac1{\tau_P} + \frac1{\tau_B}}\]

あるいは形の美しさを重視すれば,

\[ \frac1{\tau_T} = \frac1{\tau_P} + \frac1{\tau_B} \]

この式の意味するところを考えてみよう。もしも2つの半減期が等しい時には,全体としての半減期は2つの半減期の半分になる。つまり倍の速さで減衰していく。考えてみればそうなるだろう。

次に,もしもどちらかの半減期が片方に比べてずっと大きいときはどうなるだろうか。たとえばセシウム137の物理的半減期 $\tau_B$は 30 年 = 約10000日であり, 成人の生物学的半減期 $\tau_B$はだいたい 100 日なので100倍の開きがある。 つまり大小比較はこうなる。

\[ \frac1{\tau_P} \ll \frac1{\tau_B} \]

ただし,同じ濃度の汚染でも乳幼児は感受性が成人より高く,また残りの人生も長いので,そのことを含めるとこれで安心というわけでもない。小さい子どもほど放射線に対する感受性は高いものの,生物学的半減期が大人よりずっと短いために体内の濃度は少なくなる。そのため幸いにして「子どもの感受性の高さ」だけで心配するようなことにはならない というふうに考えておくのがよいと思う。ちゃんと計算すると,1歳から5歳までの幼児は大人よりもやや許容量が多い,つまりちょっとだけ守られているということになる。ただし新生児は大人よりも許容量が2/3程度と少ないので,やはり気をつけるべきだ。

なお,仮に放射性物質を取り込んだとしても,悲観せずにすぐにそれを避ける行動をとれば,生物学的半減期の神様が守ってくれる。そのことについては後でまた述べる(この項未執筆)。

途中で汚染の流入がなくなるとどうなるか

不幸にして一定期間汚染された食物をとったあと,汚染のほとんどない食物に切り替えると,そこで体内の濃度は減少していくはずだ。それについてもシミュレーションを試みよう。


_ まとめ,そしてここで触れていない大事なこと

  • 何ベクレルなら危険なのか --- シーベルトとベクレル
  • 体内被曝と体外被曝はどちらが危険か
  • 特定の臓器に集まる放射性元素の生物学的半減期は単純ではない

田崎晴明先生の解説

同じく田崎先生がまとめられた電子本(PDF)のページ

課題

物理的半減期と生物学的半減期について,この日記の解説をまとめ,かつ自分で行った計算の結果を図にして,A4 3ページ以上のレポートを作成してメールで提出しなさい。ファイルは MS Word の.docファイル,あるいは TeX で作った PDF ファイルで。なお OpenOffice で作成した場合には PDF にエクスポートして提出のこと。提出締め切りは7月26日

  • 2つの半減期の定義と意味,それらのシミュレーション
  • 汚染物質の流入がある場合の体内濃度のシミュレーション
  • 汚染の流入が途中でなくなった場合の経過を示すシミュレーション
  • 2つの半減期の両者を含めたシミュレーション
  • まとめと考察(田崎先生の文書などを参考にするとよい)

なお,シミュレーションについて考察する時には,パラメータを変更して結果の妥当性を吟味するという形をとること。現実のデータも探して,照合して議論すること。これが計算機実験による 研究の進め方である。